Come integrare sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Come integrare sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?
Anonim

Risposta:

int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C

Spiegazione:

Dal momento che è più facile gestirne solo uno X sotto una radice quadrata, completiamo il quadrato:

X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k

X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k

K = -4

X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4

int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx

Ora dobbiamo fare una sostituzione trigonometrica. Userò le funzioni trigonometriche iperboliche (perché l'integrale secante di solito non è molto bello). Vogliamo utilizzare la seguente identità:

Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta)

Per fare questo, vogliamo (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) . Possiamo risolvere per X per ottenere quale sostituzione abbiamo bisogno:

X + 2 = 2cosh (theta)

X = 2cosh (theta) -2

Integrare rispetto a Theta, dobbiamo moltiplicare per la derivata di X riguardo a Theta:

dx / (d theta) = 2sinh (theta)

int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta =

= 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta =

= 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta =

Ora possiamo usare l'identità Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) :

= 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta

Ora usiamo l'identità:

Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1)

4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta =

Potremmo fare una sostituzione di u esplicita per 2cosh (2theta) , ma è abbastanza ovvio che la risposta è sinh (2theta) :

= Sinh (2theta) -2theta + C

Ora dobbiamo annullare la sostituzione. Possiamo risolvere per Theta ottenere:

Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)

Questo da:

sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C