Come integrare sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Risposta:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Spiegazione:

Dal momento che è più facile gestirne solo uno #X# sotto una radice quadrata, completiamo il quadrato:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Ora dobbiamo fare una sostituzione trigonometrica. Userò le funzioni trigonometriche iperboliche (perché l'integrale secante di solito non è molto bello). Vogliamo utilizzare la seguente identità:

# Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Per fare questo, vogliamo # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Possiamo risolvere per #X# per ottenere quale sostituzione abbiamo bisogno:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

Integrare rispetto a # # Theta, dobbiamo moltiplicare per la derivata di #X# riguardo a # # Theta:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Ora possiamo usare l'identità # Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Ora usiamo l'identità:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Potremmo fare una sostituzione di u esplicita per # 2cosh (2theta) #, ma è abbastanza ovvio che la risposta è #sinh (2theta) #:

# = Sinh (2theta) -2theta + C #

Ora dobbiamo annullare la sostituzione. Possiamo risolvere per # # Theta ottenere:

# Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Questo da:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #