Qual è l'intervallo di una funzione quadratica?

Risposta:

La gamma di #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # è:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "se" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "se" a <0):} #

Spiegazione:

Data una funzione quadratica:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # con #a! = 0 #

Possiamo completare il quadrato per trovare:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Per i valori reali di #X# il termine quadrato # (X + b / (2a)) ^ 2 # è non negativo, prendendo il suo valore minimo #0# quando #x = -b / (2a) #.

Poi:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Se #a> 0 # allora questo è il valore minimo possibile di #f (x) # e la gamma di #f (x) # è # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Se #a <0 # allora questo è il valore massimo possibile di #f (x) # e la gamma di #f (x) # è # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Un altro modo di guardare questo è lasciare #y = f (x) # e vedere se c'è una soluzione per #X# in termini di # Y #.

Dato:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Sottrarre # Y # da entrambi i lati per trovare:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Il discriminante #Delta# di questa equazione quadratica è:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Per avere soluzioni reali, richiediamo #Delta> = 0 # e così:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Inserisci # 4ac-b ^ 2 # da entrambe le parti per trovare:

# 4>> 4ac-b ^ 2 #

Se #a> 0 # allora possiamo semplicemente dividere entrambi i lati # # 4a ottenere:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Se #a <0 # allora possiamo dividere entrambi i lati # # 4a e invertire la disuguaglianza per ottenere:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #