Risposta:
Non penso che l'equazione sia valida. presumo #abs (z) # è la funzione del valore assoluto
Spiegazione:
Prova con due termini, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (Z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Quindi
#abs (z_1 + Z_2)! = abs (z_1) + abs (Z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Forse intendi la disuguaglianza triangolare per numeri complessi:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Possiamo abbreviare questo
# | somma z_i | le sum | z_i | #
dove sono le somme #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
La parte reale non è mai più grande della grandezza. Permettere # Z = x + iy # per alcuni reali #X# e # Y #. Chiaramente # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # e prendendo radici quadrate # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. La grandezza è sempre positiva; #X# può o non può essere; in entrambi i casi non è mai più della grandezza.
Userò la barra per il coniugato. Qui abbiamo un numero reale, la grandezza al quadrato, che è uguale al prodotto dei coniugati.Il trucco è che è uguale alla sua parte reale. La parte reale della somma è la somma delle parti reali.
# | somma z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = text {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Con il nostro lemma, e la grandezza del prodotto che è il prodotto delle grandezze, e la grandezza dei coniugati sono uguali,
# | somma z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Possiamo cancellare un fattore della grandezza della somma # | somma z_i | #, che è positivo, preservando la disuguaglianza.
# | somma z_i | le sum | z_i | #
Questo è quello che volevamo dimostrare.
