Mostra che 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), per n> 1?

Risposta:

Sotto

Spiegazione:

Per dimostrare che la disuguaglianza è vera, usi l'induzione matematica

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # per #n> 1 #

Passaggio 1: prova vero per # N = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Da # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, poi #LHS> RHS #. Pertanto, è vero # N = 2 #

Passaggio 2: supporre vero per # N = k # dove k è un numero intero e #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Step 3: Quando # N = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

vale a dire # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# Sqrt2- (1 + 1 / + sqrt2 … + 1 / + 1 sqrtk / sqrt (k + 1)) #

#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # da (1) per ipotesi

=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Da #k> 1 #, poi # -1 / sqrt (k + 1) <0 # e da allora # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, poi # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # così # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Passo 4: Con la prova dell'induzione matematica, questa disuguaglianza è vera per tutti gli interi # N # più grande di #1#

La disuguaglianza dichiarata è falsa.

Ad esempio, per #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (circa 2,3) Annulla (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (circa 2,8) #

Una contraddizione.