Tre numeri interi dispari consecutivi sono tali che il quadrato del terzo intero è 345 in meno della somma dei quadrati dei primi due. Come trovi i numeri interi?

Risposta:

Ci sono due soluzioni:

#21, 23, 25#

#-17, -15, -13#

Spiegazione:

Se il numero intero minimo è # N #, poi gli altri lo sono # N + 2 # e # N + 4 #

Interpretando la domanda, abbiamo:

# (n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + (n + 2) ^ 2-345 #

che si espande a:

# n ^ 2 + 8n + 16 = n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 - 345 #

#color (bianco) (n ^ 2 + 8n + 16) = 2n ^ 2 + 4n-341 #

sottraendo # N ^ 2 + 8n + 16 # da entrambe le estremità, troviamo:

# 0 = n ^ 2-4n-357 #

#color (bianco) (0) = n ^ 2-4n + 4-361 #

#color (bianco) (0) = (n-2) ^ 2-19 ^ 2 #

#color (bianco) (0) = ((n-2) -19) ((n-2) +19) #

#color (bianco) (0) = (n-21) (n + 17) #

Così:

#n = 21 "" # o # "" n = -17 #

e i tre numeri interi sono:

#21, 23, 25#

#-17, -15, -13#

#colore bianco)()#

Nota

Nota che ho detto meno intero per # N # e non minore.

Quando si tratta di numeri interi negativi, questi termini differiscono.

Ad esempio, il meno intero da #-17, -15, -13# è #-17#, ma il minore è #-13#.

Tre numeri interi consecutivi sono tali che il quadrato del terzo è 76 più del quadrato del secondo. Come si determinano i tre numeri interi?

16, 18 e 20. Uno può esprimere i tre numeri pari consecuitve come 2x, 2x + 2 e 2x + 4. Ti viene dato che (2x + 4) ^ 2 = (2x + 2) ^ 2 +76. L'espansione dei termini al quadrato produce 4x ^ 2 + 16x + 16 = 4x ^ 2 + 8x + 4 + 76. Sottraendo 4x ^ 2 + 8x + 16 da entrambi i lati dell'equazione si ottengono 8x = 64. Quindi, x = 8. Sostituendo 8 per x in 2x, 2x + 2 e 2x + 4, si ottiene 16,18 e 20.

Tre interi positivi consecutivi consecutivi sono tali che il prodotto del secondo e del terzo intero è venti volte più di dieci volte il primo intero. Quali sono questi numeri?

Lascia che i numeri siano x, x + 2 e x + 4. Quindi (x + 2) (x + 4) = 10x + 20 x ^ 2 + 2x + 4x + 8 = 10x + 20 x ^ 2 + 6x + 8 = 10x + 20 x ^ 2 - 4x - 12 = 0 (x - 6) (x + 2) = 0 x = 6 e -2 Poiché il problema specifica che il numero intero deve essere positivo, abbiamo che i numeri sono 6, 8 e 10. Speriamo che questo aiuti!

Conoscendo la formula alla somma degli N interi a) qual è la somma dei primi N interi consecutivi quadrati, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Somma dei primi N interi cubici consecutivi Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Per S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Abbiamo sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 solving per sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ma sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 so sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3- (n + 1