Risposta:
Un'ellisse
Spiegazione:
Le coniche possono essere rappresentate come
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
dove #p = {x, y} # e
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Per le coniche #m_ {12} = m_ {21} # poi # M # gli autovalori sono sempre reali perché la matrice è simmetrica.
Il polinomio caratteristico è
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
A seconda delle loro radici, la conica può essere classificata come
1) Uguale --- cerchio
2) Stesso segno e diversi valori assoluti --- ellisse
3) Segni diversi --- iperbole
4) Una radice nulla --- parabola
Nel caso presente abbiamo
#M = ((4,0), (0,8)) #
con polinomio caratteristico
# Lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
con le radici #{4,8}# quindi abbiamo un'ellisse.
Essendo un'ellisse c'è una rappresentazione canonica per esso
# ((X-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# X_0, y_0, a, b # può essere determinato come segue
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 per tutto x in RR #
dando
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
risolvendo otteniamo
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
così
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
