Perché non possiamo integrare x ^ x?

Risposta:

Non abbiamo una regola per questo.

Spiegazione:

Negli integrali, abbiamo regole standard. La regola anti-catena, la regola anti-prodotto, la regola anti-potere e così via. Ma non ne abbiamo uno per una funzione che ha un #X# sia nella base che nella potenza. Possiamo prendere la derivata di essa semplicemente bene, ma provare a prendere il suo integrale è impossibile a causa della mancanza di regole con cui avrebbe funzionato.

Se apri Desmos Graphing Calculator, puoi provare a collegarlo

# int_0 ^ x a ^ ada #

e lo traccerà bene. Ma se provi a usare la regola anti-potenza o la regola anti-esponente per rappresentarla graficamente, vedrai che fallisce. Quando ho provato a trovarlo (su cui sto ancora lavorando), il mio primo passo è stato di portarlo via da questo modulo e nel seguente:

# Inte ^ (XLN (x)) dx #

Questo essenzialmente ci permette di usare le regole del calcolo un po 'meglio. Ma anche usando Integration by Parts, non si riesce mai a sbarazzarsi dell'integrale. Pertanto, in realtà non si ottiene una funzione per determinarlo.

Ma come sempre in matematica, è divertente sperimentare.Quindi vai avanti e prova, ma non troppo a lungo o duro, verrai risucchiato in questa tana del coniglio.

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

#y = x ^ x # può essere integrato Per esempio

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

un'altra cosa è avere ora un giorno, una funzione #f (x) # che rappresenta in forma chiusa, il primitivo per # X ^ x # o in altre parole, così

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Se questa fosse una funzione di uso comune nei problemi tecnico-scientifici, sicuramente avremmo inventato un nome e un simbolo differenziati per manipolarlo. Come la funzione Lambert definita come

#W (x) = x e ^ x #

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Come Cesareo ha indicato (senza dire), c'è una certa ambiguità in "non possiamo integrare".

La funzione #f (x) = x ^ x # è continuo # (0, oo) #

e via # 0, oo) # se facciamo #f (0) = 1 #, quindi facciamolo. Pertanto, l'integrale definito

# int_a ^ b x ^ x dx # esiste per tutti # 0 <= a <= b #

Inoltre, il teorema fondamentale del calulus ci dice che la funzione # int_0 ^ x t ^ t dt # ha derivato # X ^ x # per #x> = 0 #

Ciò che non possiamo fare è esprimere questa funzione in una forma piacevole, limitata, chiusa di espressioni algebriche (o anche ben conoscere le funzioni trascendentali).

Ci sono molte cose in matematica che non possono essere espresse se non in una forma che consente approssimazioni successive migliori.

Per esempio:

Il numero il cui quadrato è #2# non può essere espresso in forma decimale o frazionaria usando un'espressione finita. Quindi gli diamo un simbolo, # # Sqrt2 e approssimarlo a qualsiasi livello di accuratezza desiderato.

Il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio non può essere espresso finitamente usando una combinazione algebrica finita di numeri interi, quindi diamo un nome, #pi# e approssimarlo a qualsiasi livello di accuratezza desiderato.

La soluzione a # x = cosx # inoltre può essere approssimato a qualsiasi grado di accuratezza desiderato, ma non può essere espresso in modo preciso. Questo numero è (forse) non abbastanza importante da dare un nome.

Come ha detto Cesareo, se l'integrale di # X ^ x # aveva molte applicazioni, i matematici avrebbero adottato un nome per questo.

Ma i calcoli richiedono ancora un'approssimazione infinita.