# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # è della forma # Y ^ 2-2y + 1 # dove #y = x ^ 3 #.
Questa formula quadratica in # Y # fattori come segue:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Così # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Così # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # non ha fattori lineari con coefficienti reali. Per verificare questo avviso che è del modulo # ax ^ 2 + bx + c #, che ha discriminante:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Essere negativo, l'equazione # x ^ 2 + x + 1 = 0 # non ha radici reali.
Un modo per controllare la risposta è sostituire un valore per #X# non è una radice su entrambi i lati e vediamo se otteniamo lo stesso risultato:
Provare # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Confrontare:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Bene, questo ha funzionato!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # è abbastanza facile da calcolare, perché è un quadrato perfetto. Come faccio a saperlo? È un trinomio nella forma # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #e tutti i trinomiali in quella forma sono quadrati perfetti.
Questo trinomio è il quadrato perfetto di # (x ^ 3 - 1) #. Per controllare il mio lavoro, lavorerò all'indietro:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Quindi, questo trinomio ha fattori di #1#, # x ^ 3 - 1 #, e # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Tuttavia, come mi è stato fatto notare, # (x ^ 3 - 1) # ha anche fattori. Dal momento che è un binomio della forma # a ^ 3 - b ^ 3 #, può anche essere scritto come # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Così, # (x ^ 3 - 1) # fattori in # (x - 1) # e # (x ^ 2 + x + 1) #, che sono entrambi primi
I fattori di # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # siamo:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Più in particolare, la fattorizzazione PRIME di # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # è:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
