Il reddito pro-capite è 160 volte maggiore negli Stati Uniti che in Congo. pro capite cresce in media del 3% all'anno negli Stati Uniti e del 6% all'anno in Congo. quanti anni ci vorrebbe prima che il pro capite in Congo superi quello degli Stati Uniti?

Risposta:

# N = log (160) / log (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # anni

Spiegazione:

Supponiamo che il Congo abbia un reddito pro capite di #$1#, mentre gli Stati Uniti hanno #160# volte maggiore di #$160# (per semplificare il calcolo, farebbero anche altri valori).

Il reddito pro capite del Congo cresce a #6%# per anno. Quindi, l'anno prossimo sarebbe #$1*1.06=$1.06#e l'anno dopo sarebbe #$1*1.06*1.06=$1*1.06^2#. Dopo # N # anni, il reddito pro capite sarebbe salito a # $ 1 * 1,06 ^ n #.

Allo stesso modo, il reddito pro capite degli Stati Uniti salirebbe a # $ 160 * 1.03 ^ n # dopo # N # anni.

Il reddito pro capite del Congo supererebbe quello degli Stati Uniti quando

# 1.06 ^ n = 160 * 1.03 ^ n #

# 160 = 1.06 ^ n / 1.03 ^ n = (1.06 / 1.03) ^ n #

Prendi il logaritmo di entrambe le parti:

#log (160) = log ((1.06 / 1.03) ^ n) = nlog (1.06 / 1.03) #

dove usiamo il fatto #log (a ^ b) = blog (a) # Sul lato destro.

Così, # N = log (160) / log (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # anni.