Come risolvete il sistema x ^ 2 + y ^ 2 = 9 e x-3y = 3?

Risposta:

Esistono due soluzioni per questo sistema: i punti #(3,0)# e #(-12/5, -9/5)#.

Spiegazione:

Questo è un interessante sistema di problemi di equazioni perché fornisce più di una soluzione per variabile.

Perché questo accada è qualcosa che possiamo analizzare in questo momento. La prima equazione è la forma standard per un cerchio con raggio #3#. Il secondo è un'equazione leggermente disordinata per una linea. Pulito, sarebbe simile a questo:

#y = 1/3 x - 1 #

Quindi, naturalmente, se consideriamo che una soluzione a questo sistema sarà un punto in cui si intersecano la linea e il cerchio, non dovremmo sorprenderci nell'apprendere che ci saranno due soluzioni. Uno quando la linea entra nel cerchio, e un altro quando se ne va. Vedi questo grafico:

graph {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Per prima cosa iniziamo manipolando la seconda equazione:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Possiamo inserirlo direttamente nella prima equazione per risolvere # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Ovviamente questa equazione ha due soluzioni. Uno per #y = 0 # e un altro per # 9 + 5y = 0 # che significa #y = -9 / 5 #.

Ora possiamo risolvere per il #X# a ciascuno di questi # Y # valori.

Se # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Se #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Quindi le nostre due soluzioni sono i punti: #(3,0)# e #(-12/5, -9/5)#. Se guardi indietro al grafico, puoi vedere che questi corrispondono chiaramente ai due punti in cui la linea ha attraversato il cerchio.