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Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Useremo la cosiddetta formulazione di Eulero Lagrange

# d / dt ((partialL) / (punto parziale q_i)) - (partial L) / (parziale q_i) = Q_i #

dove #L = T-V #. In questo esercizio abbiamo # V = 0 # così #L = T #

chiamata # # X_a il centro della coordinata del cilindro sinistro e # # X_b il primo, abbiamo

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Qui # Sinalpha = R / Lsintheta # così sostituendo #alfa#

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

ora derivante

#dot x_b = punto x_a + Rsin (theta) punto theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta))) punto theta #

ma

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Qui # J # è lo slancio inerziale rispetto al centro di massa. Anche,

# v_a = punto x_a = R punto punto #

#omega_a = dot theta #

quindi, dopo le sostituzioni e le chiamate #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # noi abbiamo

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) punto theta ^ 2 #

Abbiamo scelto # # Theta come la coordinata generalizzata. Quindi ridurremo # F # azionando nella coordinata #X# a una forza equivalente in # # Theta. Questa coordinata agisce da rullante, quindi abbiamo bisogno di un impulso generalizzato per quanto riguarda il punto di contatto nel pavimento, che è

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

Le equazioni del movimento sono ottenute dopo

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) punto theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # ora risolvendo per #ddot theta #

# Ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Allegati due grafici. I primi spettacoli # # Theta evoluzione e il secondo è per # # Dottheta

Valore dei parametri:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # La forza applicata è mostrata in rosso.