Come si semplifica (sec ^ 4x-1) / (sec ^ 4x + sec ^ 2x)?

Risposta:

Applicare un'identità pitagorica e una coppia di tecniche di factoring per semplificare l'espressione # Peccato ^ 2x #.

Spiegazione:

Ricorda l'importante identità pitagorica # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #. Ne avremo bisogno per questo problema.

Iniziamo con il numeratore:

# Sec ^ 4x-1 #

Si noti che questo può essere riscritto come:

# (Sec ^ 2x) ^ 2- (1) ^ 2 #

Questo si adatta alla forma di una differenza di quadrati, # A ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #, con # A = sec ^ 2x # e # B = 1 #. Fa parte di:

# (Sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

Dall'identità # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #, possiamo vedere quella sottrazione #1# da entrambi i lati ci dà # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Possiamo quindi sostituire # Sec ^ 2x-1 # con # Tan ^ 2x #:

# (Sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

# -> (tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1) #

Controlliamo il denominatore:

# Sec ^ 4x + sec ^ 2x #

Possiamo calcolare a # Sec ^ 2x #:

# Sec ^ 4x + sec ^ 2x #

# -> sec ^ 2x (sec ^ 2x + 1) #

Non c'è molto altro che possiamo fare qui, quindi diamo un'occhiata a ciò che abbiamo ora:

# ((Tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) / ((sec ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) #

Possiamo fare un po 'di cancellazione:

# ((Tan ^ 2x) annullare ((sec ^ 2x + 1))) / ((sec ^ 2x) annullare ((sec ^ 2x + 1)) #

# -> tan ^ 2x / sec ^ 2x #

Ora lo riscriviamo usando solo seni e coseni e semplifichiamo:

# Tan ^ 2x / sec ^ 2x #

# -> (sin ^ 2x / cos ^ 2x) / (1 / cos ^ 2x) #

# -> sin ^ 2x / cos ^ 2x * cos ^ 2x #

# -> sin ^ 2x / annullare (cos ^ 2x) * annullare (cos ^ 2x) = sin ^ 2x #