Quali tentativi sono stati fatti quando le persone hanno provato a dimostrare la congettura di Collatz?

Quali tentativi sono stati fatti quando le persone hanno provato a dimostrare la congettura di Collatz?
Anonim

Risposta:

Alcuni pensieri …

Spiegazione:

Il grande matematico polacco Paul Erdős ha detto della congettura di Collatz che "la matematica potrebbe non essere pronta per questi problemi". Ha offerto un premio di $ 500 per una soluzione.

Oggi sembra intrattabile come quando l'ha detto.

È possibile esprimere il problema di Collatz in molti modi diversi, ma non esiste un metodo reale per cercare di risolverlo. Quando ero all'università, quasi 40 anni fa, l'unica idea che la gente sembrava avere era di guardarla usando l'aritmetica 2-adica.

Ho pensato di cercare di affrontarlo usando una sorta di approccio teorico alla misura, ma il meglio che potrei fare sarebbe probabilmente quello di mostrare che l'insieme di numeri che non colpiscono #1# è di misura #0#. Non escluderebbe l'esistenza di controesempi.

La congettura di Collatz è stata controllata dal computer per numeri fino a circa #10^20#, ma questo dimostra solo che è plausibile - non dimostra che sia vero per tutti i numeri.

Per capire perché i processi iterativi come quello nella congettura di Collatz sono così difficili da risolvere in generale, può aiutare a vedere quanto sia effettivamente ricca la combinazione di addizione e moltiplicazione sui numeri naturali.

Ad esempio, se si definisce un sistema matematico formale con un numero finito di simboli e operazioni consentite, l'aritmetica di base è sufficiente per codificarla. Diventa quindi possibile costruire un'affermazione algebrica interpretata in modo efficace "Non sono dimostrabile in questo sistema formale". Tale affermazione è quindi vera ma non dimostrabile. Quindi il sistema formale è dimostrabilmente incompleto.

Questa è approssimativamente l'essenza della dimostrazione del secondo teorema di incompletezza di Gödel.