Usa il teorema del valore intermedio per mostrare che esiste una radice dell'equazione x ^ 5-2x ^ 4-x-3 = 0 nell'intervallo (2,3)?

Risposta:

Vedi sotto per prova.

Spiegazione:

Se #f (x) = x ^ 5-2x ^ 4-x-3 #

poi

#colore (bianco) ("XXX") f (colore (blu) 2) = colore (blu) 2 ^ 5-2 * colore (blu) 2 ^ 4 colori (blu) 2-3 = colore (rosso) (-5) #

#colore (bianco) ("XXX") f (colore (blu) 3) = colore (blu) 3 ^ 5-2 * colore (blu) 3 ^ 4 colori (blu) 3-3 = 243-162-3 -3 = colore (rosso) (+ 75) #

Da #f (x) # è una funzione polinomiale standard, è continua.

Pertanto, in base al teorema del valore intermedio, per qualsiasi valore, #color (magenta) k #, fra #color (red) (- 5) # e #color (rosso) (+ 75) #, ce ne sono alcuni #color (calce) (hatx) # fra #color (blu) 2 # e #color (blu) 3 # per cui #f (colore (calce) (hatx)) = colore (magenta) k #

Da #color (magenta) 0 # è un tale valore, esiste qualche valore #color (lime) (hatx) in color (blue) 2, color (blue) 3 # così #f (colore (calce) (hatx)) = colore (magenta) 0 #

Qual è la differenza tra il teorema del valore intermedio e il teorema del valore estremo?

The Intermediate Value Theorem (IVT) dice funzioni che sono continue su un intervallo [a, b] assumono tutti i valori (intermedi) tra i loro estremi. The Extreme Value Theorem (EVT) dice che le funzioni continue su [a, b] raggiungono i loro valori estremi (alto e basso). Ecco una dichiarazione dell'EVT: Sia f sia continuo su [a, b]. Quindi esistono numeri c, d in [a, b] tali che f (c) leq f (x) leq f (d) per tutti x in [a, b]. Detto in altro modo, il "supremum" M e "infimum" m dell'intervallo {f (x): x in [a, b] } esistono (sono finiti) e esistono numeri c, d in [a, b] tale che f (c) = m e f (d)

Una macchina si deprezza al ritmo del 20% all'anno. Quindi, alla fine dell'anno, l'auto vale l'80% del suo valore dall'inizio dell'anno. Quale percentuale del suo valore originale è l'auto che vale alla fine del terzo anno?

51,2% Modelliamo questo con una funzione esponenziale decrescente. f (x) = y volte (0.8) ^ x Dove y è il valore iniziale della vettura e x è il tempo trascorso in anni dall'anno di acquisto. Quindi dopo 3 anni abbiamo il seguente: f (3) = y volte (0.8) ^ 3 f (3) = 0.512y Quindi l'auto vale solo il 51.2% del suo valore originale dopo 3 anni.

Come si usa il teorema del valore intermedio per verificare che ci sia uno zero nell'intervallo [0,1] per f (x) = x ^ 3 + x-1?

C'è esattamente 1 zero in questo intervallo. Il teorema del valore intermedio afferma che per una funzione continua definita sull'intervallo [a, b] possiamo lasciare c un numero con f (a) <c <f (b) e che EE x in [a, b] tale che f (x) = c. Un corollario di questo è che se il segno di f (a)! = Segno di f (b) significa che ci deve essere qualche x in [a, b] tale che f (x) = 0 perché 0 è ovviamente tra il negativi e positivi. Quindi, inseriamo gli endpoint: f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 quindi c'è almeno uno zero in questo intervallo. Per verificare se c'