Come si usa il teorema del valore intermedio per verificare che ci sia uno zero nell'intervallo [0,1] per f (x) = x ^ 3 + x-1?

Risposta:

C'è esattamente 1 zero in questo intervallo.

Spiegazione:

Il teorema del valore intermedio afferma che per una funzione continua definita su intervallo # A, b # possiamo lasciare # C # essere un numero con

#f (a) <c <f (b) # e quello #EE x in a, b # così #f (x) = c #.

Un corollario di questo è che se il segno di #f (a)! = # segno di #f (b) # questo significa che ce ne devono essere alcuni #x in a, b # così #f (x) = 0 # perché #0# è ovviamente tra i negativi e i positivi.

Quindi, inseriamo gli endpoint:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#perciò# c'è almeno uno zero in questo intervallo. Per verificare se c'è una sola radice, guardiamo la derivata che dà la pendenza.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Possiamo vederlo #AA x in a, b, f '(x)> 0 # quindi la funzione aumenta sempre in questo intervallo - questo significa che c'è solo una radice in questo intervallo.