Deriva matematicamente le radici del colore (bianco) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Risposta:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # per #n = 0, 1, 2 #

Spiegazione:

Dato:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Sostituzione trigonometrica

Dal momento che questo cubo ha #3# zeri reali, il metodo di Cardano si tradurrà in espressioni che coinvolgono radici cubiche irriducibili di numeri complessi. Il metodo di Cardano non è sbagliato, ma non è molto amichevole, a meno che le radici del cubo non abbiano una forma semplice.

In alternativa, in questi casi, sceglierei una sostituzione trigonometrica.

Permettere:

#x = k cos theta #

Il trucco è scegliere #K# tale che l'espressione risultante contenga # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Abbiamo:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (bianco) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (bianco) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (bianco) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # con # K = 2 #

#color (bianco) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Così:

#cos 3 theta = 1/2 #

Così:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # per qualsiasi numero intero # N #

Così:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # per qualsiasi numero intero # N #

Questo darà #3# distinti valori possibili di #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # per #n = 0, 1, 2 #.