Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3x per 1-3tan ^ 2x Dimostralo?

Risposta:

Gentilmente passare attraverso a Prova nel Spiegazione.

Spiegazione:

Abbiamo, #tan (x + y) = (tanx + tany) / (1-tanxtany) ………… (diamante) #.

lasciando # x = y = A #, noi abbiamo, #tan (A + A) = (Tana + Tana) / (1-tana * Tana) #.

#:. tan2A = (2tanA) / (1-tan ^ 2A) ………… (diamond_1) #.

Ora, prendiamo, in # (diamante), x = 2A, e, y = A #.

#:. tan (2A + A) = (tan2A + tana) / (1-tan2A * TANA) #.

#:. tan3A = {(2tanA) / (1-tan ^ 2A) + Tana} / {1- (2tanA) / (1-tan ^ 2A) * TANA} #, # = {(2tanA + tana (1-tan ^ 2A)) / (1-tan ^ 2A)} -: {1- (2tan ^ 2A) / (1-tan ^ 2A)} #, # = (2tanA + tana-tan ^ 3A) / (1-tan ^ 2A-2A 2tan ^) #.

# rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) / (1-3tan ^ 2A) #, come desiderato!

Facciamolo dai primi principi di De Moivre:

#cos 3 x + i sin 3x = (cos x + i sin x) ^ 3 #

Usando il #1,3,3,1# fila del triangolo di Pascal, #cos 3 x + i sin 3x #

# = cos ^ 3 x + 3 cos ^ 2 x (i sin x) + 3 cos x (i ^ 2 sin ^ 2 x) + i ^ 3 sin ^ 3 x #

# = (cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x) + i (3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x) #

Equiparando le rispettive parti reali e immaginarie, # cos 3 x = cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x #

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x #

Queste sono (una forma piuttosto oscura) delle formule a tripla angolazione, e tipicamente dovremmo semplicemente scrivere quelle o una forma più standard e partire da qui.

# tan 3x = frac {sin 3x} {cos 3x} = frac {3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x} {cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x} #

#tan 3x = frac {3 tan x - tan ^ 3 x} {1 - 3 tan ^ 2 x} quad square #