Cosa significa (3 + i) ^ (1/3) in una forma + bi?

Risposta:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + radice (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Spiegazione:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # dove #alpha = arctan (1/3) #

Così

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = radice (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + radice (6) (10) sin (1/3 arcta (1/3)) i #

Da # 3 + i # è in Q1, questa principale radice cubica di # 3 + i # è anche in Q1.

Le altre due radici cubiche di # 3 + i # sono espressi usando la primitiva radice cubica complessa dell'unità #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (radice (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + radice (6) (10) sin (1/3 arcta (1/3)) i) #

# = radice (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + radice (6) (10) sin (1/3 arcta (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (radice (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + radice (6) (10) sin (1/3 arcta (1/3)) i) #

# = radice (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + radice (6) (10) sin (1/3 arcta (1/3) + (4pi) / 3) i #