Come trovare la prima derivata di f (x) = 2 sin (3x) + x?

Risposta:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Spiegazione:

Differenzia ogni termine:

# (D (x)) / dx = 1 #

Usando le regole di catena per il secondo termine abbiamo:

#G (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Con:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Insieme abbiamo:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Risposta:

Ci viene chiesto di trovare la derivata di #f (x) = 2sin (3x) + x # usando la definizione: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Spiegazione:

Dobbiamo valutare:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Questo sarà ingombrante. Per renderlo meno complicato, dividiamo l'espressione in due parti più semplici. Prenderemo la parte trigonometrica e la parte lineare separatamente.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Assumerò che puoi dimostrare che il secondo limite è #1#. Il limite più impegnativo è il limite che coinvolge le funzioni trigonometriche.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Quindi, quando mettiamo insieme i due pezzi, otteniamo:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #