Un corpo è stato trovato alle 10 in un magazzino dove la temperatura era di 40 ° F. Il medico legale ha rilevato che la temperatura del corpo era di 80 ° C. Qual era l'ora approssimativa della morte?

Risposta:

L'ora approssimativa della morte è #8:02:24# Sono.

Importante notare che questa è la temperatura della pelle del corpo. Il medico legale misurerebbe la temperatura interna che diminuirebbe molto più lentamente.

Spiegazione:

La legge del raffreddamento di Newton afferma che il tasso di variazione della temperatura è proporzionale alla differenza rispetto alla temperatura ambiente. ie

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Se #T> T_0 # allora il corpo dovrebbe raffreddarsi, quindi il derivato dovrebbe essere negativo, quindi inseriamo la costante di proporzionalità e arriviamo a

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Moltiplicando la parentesi e cambiando la situazione ci prendiamo:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Ora è possibile utilizzare il metodo del fattore di integrazione per risolvere gli ODE.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Moltiplicare entrambi i lati per #I (x) # ottenere

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Si noti che utilizzando la regola del prodotto possiamo riscrivere l'LHS, lasciando:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrare entrambe le parti in # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Dividi per # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

La temperatura media del corpo umano è # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98,6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Permettere # # T_f essere il momento in cui viene trovato il corpo

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58,6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1,96 ore #

Quindi dal momento della morte, supponendo che il corpo abbia immediatamente iniziato a raffreddarsi, ci sono volute 1.96 ore per raggiungere gli 80 ° F, a quel punto è stato trovato.

# 1.96hr = 117.6min #

L'ora approssimativa della morte è #8:02:24# sono