Utilizzare il Teorema Rational Zeros per trovare gli zeri possibili della seguente funzione polinomiale: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Risposta:

Il possibile razionale gli zeri sono:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Spiegazione:

Dato:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Con il teorema degli zeri razionali, tutti gli zeri razionali di #f (x) # sono espressi nella forma # P / q # per numeri interi #p, q # con # P # un divisore del termine costante #-35# e # # Q un divisore del coefficiente #33# del termine principale.

I divisori di #-35# siamo:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

I divisori di #33# siamo:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Quindi i possibili zeri razionali sono:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

o in ordine crescente di dimensioni:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Nota che queste sono solo le possibilità razionali. Il teorema degli zeri razionali non ci parla di possibili zeri irrazionali o complessi.

Usando la Regola dei segni di Descartes, possiamo determinare che questo cubo non ha zero negativi e #1# o #3# zeri reali positivi.

Quindi gli unici possibili zeri razionali sono:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Provando ciascuno a sua volta, troviamo:

#f (1/11) = 33 (colore (blu) (1/11)) ^ 3-245 (colore (blu) (1/11)) ^ 2 + 407 (colore (blu) (1/11)) -35 #

#color (bianco) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (bianco) (f (1/11)) = 0 #

Così # X = 1/11 # è uno zero e # 11x-1 # un fattore:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Per calcolare il quadratico rimanente possiamo usare un metodo AC:

Trova un paio di fattori di #AC = 3 * 35 = 105 # con somma # B = 22 #

Il paio #15, 7# lavori.

Usa questa coppia per dividere il termine medio e poi il fattore raggruppando:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (bianco) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (bianco) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Quindi gli altri due zeri sono:

# x = 7/3 "" # e # "" x = 5 #