Come usi la formula binomiale per espandere [x + (y + 1)] ^ 3?

Risposta:

# X ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3Y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Questo binomio ha la forma # (A + b) 3 ^ #

Espandiamo il binomio applicando questa proprietà:

# (A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

Dove in un dato binomio # A = x # e # B = y + 1 #

Abbiamo:

# X + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # commentarlo come (1)

Nell'espansione sopra abbiamo ancora due binomi da espandere

# (Y + 1) ^ 3 # e # (Y + 1) ^ 2 #

Per # (Y + 1) ^ 3 # dobbiamo usare la proprietà cubata sopra

Così # (Y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Osservalo come (2)

Per # (Y + 1) ^ 2 # dobbiamo usare il quadrato della somma che dice:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Così # (Y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Osservalo come (3)

Sostituendo (2) e (3) nell'equazione (1) abbiamo:

# X ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = X ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = X ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Dobbiamo aggiungere termini simili ma in questo polinomio non abbiamo termini simili, possiamo concordare i termini.

Così, # X + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #