Quali sono gli estremi assoluti di f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x in [0, pi / 4]?

Risposta:

massimo assoluto: # (pi / 4, pi / 4) #

min assoluto: #(0, 0)#

Dato: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x in 0, pi / 4 #

Trova la prima derivata usando la regola del prodotto due volte.

Regola del prodotto: # (uv) '= uv' + v u '#

Permettere #u = 2x; "" u '= 2 #

Permettere #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Per la seconda metà dell'equazione:

Permettere #u = x; "" u '= 1 #

Permettere #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Semplificare:

#f '(x) = cancel (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x cancel (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

L'identità pitagorica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Ciò significa che non ci sono valori critici quando #f '(x) = 0 #

Massimo e minimo assoluti si troverebbero ai punti finali dell'intervallo di funzione.

Test endpoint della funzione:

#f (0) = 0; "Minimo assoluto:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Massimo assoluto:" (pi / 4, pi / 4) #