Risposta:
La curva di intersezione può essere parametrizzata come # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Spiegazione:
Non sono sicuro di cosa intendi per funzione vettoriale. Ma capisco che cerchi di rappresentare la curva di intersezione tra le due superfici nella domanda.
Poiché il cilindro è simmetrico attorno al # Z # asse, potrebbe essere più semplice esprimere la curva in coordinate cilindriche.
Passa alle coordinate cilindriche:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# R # è la distanza dal # Z # asse e # Theta # è l'angolo antiorario dal #X# asse nel # x, y # aereo.
Quindi la prima superficie diventa
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# R ^ 2 = 81 #
# R = 9 #, a causa dell'identità trigonometrica pitagorica.
La seconda superficie diventa
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Abbiamo imparato dall'equazione della prima superficie che la curva intersecante deve essere a una distanza quadrata # R ^ 2 = 81 # dalla prima superficie, dando questo
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, una curva parametrizzata da # Theta #. L'ultimo passaggio è un'identità trigonometrica e viene fatto solo in base alle preferenze personali.
Da questa espressione vediamo che la curva è davvero una curva, in quanto ha un grado di libertà.
Tutto, in tutto, possiamo scrivere la curva come
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, che è una funzione di valore vettoriale di una singola variabile # Theta #.
Risposta:
Vedi sotto.
Spiegazione:
Considerando l'intersezione di
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z in RR):} #
con
# C_2-> z = x y #
o # C_1 nn C_2 #
noi abbiamo
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
ora risolvendo per # X ^ 2, y ^ 2 # otteniamo le curve parametriche
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # o
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #
che sono reali per
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
In allegato un grafico che mostra la curva di intersezione in rosso (una foglia).
