Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Non ho trovato punti sella, ma c'era un minimo:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Per trovare gli estremi, prendi la derivata parziale rispetto a #X# e # Y # per vedere se entrambi i derivati parziali possono uguagliare simultaneamente #0#.

# ((delf) / (delx)) _y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Se devono uguagliare contemporaneamente #0#, formano a sistema di equazioni:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Questo lineare sistema di equazioni, quando sottratto per annullare # Y #, dà:

# 3x - 1 = 0 => colore (verde) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => colore (verde) (y = -2/3) #

Poiché le equazioni erano lineari, c'era solo un punto critico, e quindi solo un estremo. La seconda derivata ci dirà se è stato un massimo o minimo.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Questi secondi parziali sono d'accordo, quindi il grafico è concavo, lungo il #X# e # Y # assi.

Il valore di #f (x, y) # nel punto critico è (ricollegando l'equazione originale):

#color (verde) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = colore (verde) (- 1/3) #

Quindi, abbiamo un minimo di #color (blu) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Ora, per il cross-derivati per verificare eventuali punti di sella che potrebbero essere lungo una direzione diagonale:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Poiché entrambi sono d'accordo, invece di essere segni opposti, c'è nessun punto di sella.

Possiamo vedere come appare questo grafico solo per verificare: