Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?
Anonim

Non ho trovato punti sella, ma c'era un minimo:

f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3

Per trovare gli estremi, prendi la derivata parziale rispetto a X e Y per vedere se entrambi i derivati parziali possono uguagliare simultaneamente 0.

((delf) / (delx)) _y = 2x + y

((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1

Se devono uguagliare contemporaneamente 0, formano a sistema di equazioni:

2 (2x + y + 0 = 0)

x + 2y + 1 = 0

Questo lineare sistema di equazioni, quando sottratto per annullare Y , dà:

3x - 1 = 0 => colore (verde) (x = 1/3)

=> 2 (1/3) + y = 0

=> colore (verde) (y = -2/3)

Poiché le equazioni erano lineari, c'era solo un punto critico, e quindi solo un estremo. La seconda derivata ci dirà se è stato un massimo o minimo.

((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2

Questi secondi parziali sono d'accordo, quindi il grafico è concavo, lungo il X e Y assi.

Il valore di f (x, y) nel punto critico è (ricollegando l'equazione originale):

color (verde) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3)

= 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = colore (verde) (- 1/3)

Quindi, abbiamo un minimo di color (blu) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) .

Ora, per il cross-derivati per verificare eventuali punti di sella che potrebbero essere lungo una direzione diagonale:

((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1

Poiché entrambi sono d'accordo, invece di essere segni opposti, c'è nessun punto di sella.

Possiamo vedere come appare questo grafico solo per verificare: