![Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y? Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?](https://img.go-homework.com/img/calculus/what-are-the-extrema-and-saddle-points-of-fxy-x2xyy2y.jpg)
Non ho trovato punti sella, ma c'era un minimo:
f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3
Per trovare gli estremi, prendi la derivata parziale rispetto a
((delf) / (delx)) _y = 2x + y
((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1
Se devono uguagliare contemporaneamente
2 (2x + y + 0 = 0)
x + 2y + 1 = 0
Questo lineare sistema di equazioni, quando sottratto per annullare
3x - 1 = 0 => colore (verde) (x = 1/3)
=> 2 (1/3) + y = 0
=> colore (verde) (y = -2/3)
Poiché le equazioni erano lineari, c'era solo un punto critico, e quindi solo un estremo. La seconda derivata ci dirà se è stato un massimo o minimo.
((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2
Questi secondi parziali sono d'accordo, quindi il grafico è concavo, lungo il
Il valore di
color (verde) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3)
= 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = colore (verde) (- 1/3)
Quindi, abbiamo un minimo di
Ora, per il cross-derivati per verificare eventuali punti di sella che potrebbero essere lungo una direzione diagonale:
((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1
Poiché entrambi sono d'accordo, invece di essere segni opposti, c'è nessun punto di sella.
Possiamo vedere come appare questo grafico solo per verificare: