Risposta:
Vedi sotto.
Spiegazione:
chiamata # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + da ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #
Se #p_i = (x_i, y_i, z_i) in E # poi
# Ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # è un piano tangente a # E # perché ha un punto in comune e #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # è normale a # E #
Permettere # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # essere un piano generale tangente a # E # poi
# {(x_i = alfa / (un delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #
ma
# Ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # così
# Alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # e l'equazione del piano tangente generico è
#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #
Ora ha tre piani ortogonali
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
e chiamando #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # e facendo
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # possiamo scegliere
#V cdot V ^ T = I_3 #
e di conseguenza
# V ^ Tcdot V = I_3 #
allora abbiamo anche
# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #
Ora aggiungendo #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # noi abbiamo
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sum (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #
e infine
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #
ma #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
così
# X ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / + 1 / b + 1 / c #
che è il percorso tracciato dal punto di intersezione di tre piani tangenti perpendicolari all'elissoide.
Allegata una trama per l'ellissoide
# X ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
