Dimostra che un elemento di un dominio integrale è un'unità se genera il dominio.

Dimostra che un elemento di un dominio integrale è un'unità se genera il dominio.
Anonim

Risposta:

L'affermazione è falsa.

Spiegazione:

Considera l'anello di numeri della forma:

# Un + bsqrt (2) #

dove #a, b in QQ #

Questo è un anello commutativo con identità moltiplicativa #1 != 0# e nessun divisore zero. Cioè, è un dominio integrale. Infatti è anche un campo poiché ogni elemento diverso da zero ha un inverso moltiplicativo.

L'inverso moltiplicativo di un elemento diverso da zero della forma:

# a + bsqrt (2) "" # è # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Quindi qualsiasi numero razionale diverso da zero è un'unità, ma non genera l'intero anello, poiché il sottoprocesso generato da esso conterrà solo numeri razionali.