Come trovi i valori esatti di cos 2pi / 5?

Risposta:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

Spiegazione:

Ecco la soluzione più elegante che ho trovato in:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4Pi / 5) = cos (2pi-4Pi / 5) = cos (6pi / 5) #

Quindi se # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

Sostituendo cos (2x) e cos (3x) con le loro formule generali:

#color (rosso) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 e cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, noi abbiamo:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x-3cosx #

Sostituzione # # Cosx di # Y #:

# 4y ^ ^ 3-2y 2-3y-1 = 0 #

# (Y-1) (4y ^ 2 + 2y-1) = 0 #

Lo sappiamo #y! = 1 #, quindi dobbiamo risolvere la parte quadratica:

#y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

#y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

da #y> 0 #, # Y = cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #