Risposta:
Vedi spiegazione …
Spiegazione:
Permettere #t = a_ (cf) (x; b) #
Poi:
#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #
In altre parole, # T # è un punto fisso della mappatura:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Si noti che da solo, # T # essendo un punto fisso di #F (t) # non è sufficiente per dimostrarlo #t = a_ (cf) (x; b) #. Potrebbero esserci punti fissi instabili e stabili.
Per esempio, #2016^(1/2016)# è un punto fisso di #x -> x ^ x #, ma non è una soluzione di # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Non c'è soluzione).
Tuttavia, consideriamo #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # e #t = 1,880789470 #
Poi:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #
# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316,916199 millions) #
# = E ^,6316,916199 millions #
# ~~ 1.880789471 ~~ t #
Quindi questo valore di # T # è molto vicino a un punto fisso di #F_ (a, b, x) #
Per dimostrare che è stabile, considera la derivata vicina # T #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #
Quindi troviamo:
#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #
Poiché questo è negativo e di valore assoluto inferiore a #1#, il punto fisso a # T # è stabile
Si noti inoltre che per qualsiasi valore reale diverso da zero di #S# noi abbiamo:
#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #
Questo è #F_ (e, 1,0.1) (s) # è strettamente monotonicamente decrescente.
Quindi # T # è l'unico punto fisso stabile.
Risposta:
Comportamento contrattuale
Spiegazione:
Con #a = e # e #x = x_0 # l'iterazione segue come
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # e anche
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Cerchiamo di indagare le condizioni per una contrazione nell'operatore di iterazione.
Sottrarre entrambi i lati
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #
ma in prima approssimazione
# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #
o
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} approx -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #
Per avere una contrazione di cui abbiamo bisogno
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Questo è raggiunto se
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. ammesso che #b> 0 # e #k = 1 # noi abbiamo.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Così dato # # X_0 e # B # questa relazione ci permette di trovare l'iterazione iniziale sotto il comportamento contrattivo.
