Dimostra sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Risposta:

In Spiegazione

Spiegazione:

Su un piano di coordinate normale, abbiamo coordinate come (1,2) e (3,4) e cose del genere. Possiamo esprimere nuovamente queste coordinate in termini di raggi e angoli. Quindi, se abbiamo il punto (a, b), questo significa che andiamo a destra, b unità e #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # come la distanza tra l'origine e il punto (a, b). Chiamerò #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Quindi abbiamo # Re ^ arctan (b / a) #

Ora per finire questa dimostrazione ricordiamo una formula.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

La funzione dell'arcobaleno mi dà un angolo che è anche theta.

Quindi abbiamo la seguente equazione:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Ora lascia disegnare un triangolo rettangolo.

L'arcano di (b / a) mi dice che b è il lato opposto e a è il lato adiacente. Quindi se voglio il cos dell'arctan (b / a), usiamo il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa. L'ipotenusa è #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Quindi il cos (arctan (b / a)) = adiacente a ipotenusa = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

La parte migliore di questo è il fatto che questo stesso principio si applica al seno. Quindi sin (arctan (b / a)) = opposto su ipotenusa = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Quindi ora possiamo ri-esprimere la nostra risposta in questo modo: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Ma ricorda #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # quindi ora abbiamo: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. I r cancellano e ti rimane il seguente: # A + bi #

Perciò, # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #