Cos'è una funzione continua a tratti? + Esempio

Risposta:

Una funzione continua a tratti è una funzione continua ad eccezione di un numero finito di punti nel suo dominio.

Spiegazione:

Si noti che i punti di discontinuità di una funzione continua a tratti non devono essere discontinuità rimovibili. Cioè non richiediamo che la funzione possa essere resa continua ridefinendola in quei punti. È sufficiente che se escludiamo quei punti dal dominio, la funzione è continua nel dominio limitato.

Ad esempio, considera la funzione:

#s (x) = {(-1, "se x <0"), (0, "se x = 0"), (1, "se x> 0"):} #

grafico {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2.5, 2.5}

Questo è continuo per tutti #x in RR # tranne #x = 0 #

La discontinuità di # X = 0 # non è rimovibile. Non possiamo ridefinire #s (x) # a quel punto e ottenere una funzione continua.

A # X = 0 # il grafico della funzione 'salta'. Più formalmente, nel linguaggio dei limiti troviamo:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Quindi il limite sinistro e il limite destro non sono d'accordo l'uno con l'altro e con il valore della funzione a # X = 0 #.

Se escludiamo il gruppo finito di discontinuità dal dominio, la funzione limitata a questo nuovo dominio sarà continua.

Nel nostro esempio, la definizione di #s (x) # come una funzione da # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # è continuo.

Se tracciamo un grafico #s (x) # limitato a questo dominio, sembra ancora discontinuo a #0#, ma #0# non fa parte del dominio, quindi il "salto" è irrilevante. In qualsiasi punto, arbitrariamente vicino a #0#, possiamo scegliere un intervallo aperto attorno ad esso in cui la funzione è (costante e quindi) continua.

Leggermente confusionaria, la funzione #tan (x) # è considerato continuo - piuttosto che continuo a tratti, perché gli asintoti di #x = pi / 2 + n pi # sono esclusi dal dominio.

graph {tan (x) -10.06, 9.94, -4.46, 5.54}

Nel frattempo, la funzione a dente di sega #f (x) = x - floor (x) # non è considerato continuo a tratti come una funzione da # RR # a # RR #, ma è a tratti continuo su un intervallo aperto finito.

grafico {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2.56, 2.44, -0.71, 1.79}