Risposta:
# V = 16 / 15PI ~~ 3,35,103 mila #
Spiegazione:
L'area è la soluzione di questo sistema:
# {(Y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
Ed è abbozzato in questa trama:
La formula per il volume di un solido di rotazione dell'asse x è:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Per applicare la formula dovremmo tradurre la mezza luna sull'asse x, l'area non cambierà e quindi non cambierà anche il volume:
# Y = -x ^ 2 + 2x + 3color (red) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# Y = 3color (red) (- 3) = 0 #
In questo modo otteniamo #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.
L'area tradotta ora è tracciata qui:
Ma quali sono l'aeb dell'integrale? Le soluzioni del sistema:
# {(Y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #
Così # a = 0 eb = 2 #.
Riscriviamo e risolviamo l'integrale:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15PI ~~ 3,35,103 mila #
E questo "limone" è il solido ottenuto:
