Domanda # 53a2b + Esempio

Risposta:

Questa definizione di distanza è invariante in caso di cambiamento del quadro inerziale e quindi ha un significato fisico.

Spiegazione:

Lo spazio Minkowski è costruito per essere uno spazio a 4 dimensioni con le coordinate dei parametri # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, dove di solito diciamo # X_0 = ct #. Al centro della relatività speciale, abbiamo le trasformazioni di Lorentz, che sono trasformazioni da una struttura inerziale a un'altra che lasciano invariata la velocità della luce. Non entrerò nella piena derivazione delle trasformazioni di Lorentz, se vuoi che lo spieghi, basta chiedere e andrò più in dettaglio.

Ciò che è importante è il seguente. Quando guardiamo allo spazio euclideo (lo spazio in cui abbiamo la definizione ordinaria di lunghezza a cui siamo abituati # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), abbiamo alcune trasformazioni; rotazioni spaziali, traduzioni e mirrorings. Se calcoliamo la distanza tra due punti in vari fotogrammi di riferimento collegati da queste trasformazioni, troviamo che la distanza è la stessa. Ciò significa che la distanza euclidea è invariante rispetto a queste trasformazioni.

Ora estendiamo questa nozione allo spaziotempo 4-dimensionale. Prima della teoria di Einstein della relatività speciale, abbiamo collegato i fotogrammi inerziali con le trasformazioni di Galilei, che hanno appena sostituito una coordinata spaziale # # X_i di # X_i-v_it # per #iin {1,2,3} # dove # # V_i è la velocità dell'osservatore nel #io# direzione relativa alla cornice originale. Questa trasformazione non ha lasciato invariata la velocità della luce, ma ha lasciato la distanza indotta dall'elemento di linea # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #semplicemente perché non c'è alcun cambiamento nella coordinata temporale, quindi il tempo è assoluto.

Tuttavia, la trasformazione di Galilei non descrive con precisione la trasformazione di una struttura inerziale in un'altra, poiché sappiamo che la velocità della luce è invariante rispetto a un'adeguata trasformazione di coordinate. Pertanto abbiamo introdotto la trasformazione di Lorentz. La distanza euclidea estesa allo spazio-tempo 4-dim come sopra non è invariante in questa trasformazione di Lorentz, tuttavia, la distanza indotta da # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # è, che chiamiamo la giusta distanza. Quindi, anche se questa distanza euclidea in cui il teorema di Pitagora regge è una struttura matematica perfettamente decente sul 4 spazio buio, non ha alcun significato fisico, poiché dipende dall'osservatore.

La distanza corretta non dipende dall'osservatore, quindi possiamo dargli un significato fisico, questo viene fatto collegando l'arclenght di una linea del mondo attraverso lo spazio di Minkowski usando questa distanza al tempo trascorso osservato da un oggetto che viaggia lungo questa linea di mondo. Si noti che se lasciamo il tempo fisso, il teorema di Pitagora mantiene ancora le coordinate spaziali.

MODIFICA / SPIEGAZIONE SUPPLEMENTARE:

Il richiedente originale di questa domanda mi ha chiesto di elaborare un po 'di più, ha scritto: "Grazie, ma, per favore, puoi spiegare un po' di più gli ultimi due paras: in un libro ho visto che avevano # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Per favore spiega "In sostanza quello che abbiamo qui è una versione bidimensionale di ciò che ho descritto sopra.Abbiamo una descrizione dello spaziotempo con una dimensione temporale e una dimensione.In questo modo definiamo una distanza, o più precisamente una norma (una distanza da l'origine di un punto) #S# usando la formula # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # dove #X# è la coordinata spaziale e # T # la coordinata temporale.

Quello che ho fatto sopra era una versione tridimensionale di questo, ma più importante che ho usato # (ds) ^ 2 # invece di # s ^ 2 # (Ho aggiunto le parentesi per chiarire cosa è quadrato). Senza entrare troppo nei dettagli della geometria differenziale, se abbiamo una linea che collega due punti nello spazio, # ds # è la lunghezza di un piccolo pezzo della linea, un cosiddetto elemento di linea. Tramite una versione 2D di ciò che ho scritto sopra, abbiamo # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, che collega la lunghezza di questo piccolo pezzo al piccolo cambiamento delle coordinate. Per calcolare la distanza dall'origine a un punto # X_0 = a, b = x_1 # nello spazio-tempo, calcoliamo la lunghezza di una retta che va dall'origine a quel punto, questa linea è data # X_0 = a / bx_1 # dove # X_1in 0, b #, notiamo che # Dx_0 = a / bdx_1 #, così # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, così # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, che possiamo integrare, dare # S = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = dx_1 bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Perciò # S ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # nel # (T, x) # coordinate.

Quindi, in effetti, ciò che ho scritto sopra dà quello che leggi nel libro. Tuttavia la versione dell'elemento linea consente di calcolare la lunghezza di qualsiasi linea, non solo le linee rette. La storia della trasformazione di Lorentz regge ancora, questa norma #S# è invariante in caso di modifica del frame di riferimento, mentre # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # non è.

Il fatto che il teorema di Pitagora non regga non è sorprendente. Il teorema di Pitagora vale nella geometria euclidea. Ciò significa che lo spazio in cui lavori è piatto. Un esempio di spazi che non sono piatti è la superficie di una sfera. Quando si desidera trovare la distanza tra due punti su questa superficie, si prende la lunghezza del percorso più breve su questa superficie che collega questi due punti. Se dovessi costruire un triangolo rettangolo su questa superficie, che sarebbe molto diverso da un triangolo nello spazio euclideo, poiché le linee non sarebbero diritte, il teorema di Pitagora non regge in generale.

Un'altra importante caratteristica della geometria euclidea è che quando si mette un sistema di coordinate su questo spazio, ogni coordinata svolge lo stesso ruolo. È possibile ruotare gli assi e finire con la stessa geometria. Nella geometria di Minkowski sopra non tutte le coordinate hanno lo stesso ruolo, poiché gli assi del tempo hanno un segno meno nelle equazioni e gli altri no. Se questo segno meno non fosse presente, il tempo e lo spazio avrebbero un ruolo simile nello spaziotempo, o almeno nella geometria. Ma sappiamo che lo spazio e il tempo non sono la stessa cosa.