Risposta:
Suggerimento 1: Supponiamo che sia un'equazione # x ^ 2 + x-u = 0 # con # U # un intero ha una soluzione intera # N #. Mostralo # U # è anche.
Spiegazione:
Se # N # è una soluzione c'è un numero intero # M # così
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Dove #nm = u # e # m-n = 1 #
Ma la seconda equazione implica questo #m = n + 1 #
Ora, entrambi # M # e # N # sono interi, quindi uno di # N #, # N + 1 # è pari e #nm = u # è anche.
Proposizione
Se # U # è un numero intero dispari, quindi l'equazione # x ^ 2 + x - u = 0 # non ha una soluzione che è un numero intero.
Prova
Supponiamo che esista una soluzione intera # M # dell'equazione:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
dove # U # è un numero dispari. Dobbiamo esaminare i due possibili casi:
# M # è strano; o
# M # è anche.
Innanzitutto, consideriamo il caso in cui # M # è strano, quindi esiste un intero #K# tale che:
# m = 2k + 1 #
Ora, da allora # M # è una radice della nostra equazione, deve essere così:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
E abbiamo una contraddizione, come # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # è pari, ma # U # è strano
Successivamente, consideriamo il caso in cui # M # è pari, quindi esiste un numero intero #K# tale che:
# m = 2k #
Allo stesso modo, da allora # M # è una radice della nostra equazione, deve essere così:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
E, ancora, abbiamo una contraddizione, come # 2 (2k ^ 2 + k) # è pari, ma # U # è strano
Quindi abbiamo dimostrato che non esiste una soluzione intera dell'equazione # x ^ 2 + x - u = 0 # dove # U # è un numero dispari.
Quindi la proposizione è dimostrata. QED
Risposta:
Vedi sotto.
Spiegazione:
Se # X ^ 2 + x-u = 0 # poi
#x (x + 1) = u # allora se #X# è un numero intero, #x (x + 1) # è pari, essendo una contraddizione perché # U # per ipotesi è strano.
