Risposta:
Il resto della divisione #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # di # (X-k) # è #f (k) #, quindi risolvi #f (k) = 9 # usando il teorema della radice razionale e il factoring per trovare:
#k = 1/2, -2 # o #-3#
Spiegazione:
Se tenti di dividere #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # di # x-k # si finisce con un resto di #f (k) #…
Quindi se il resto lo è #9#, stiamo praticamente cercando di risolvere #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Sottrarre #9# da entrambi i lati per ottenere:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Con il teorema della radice razionale, qualsiasi radice razionale di questo cubo sarà della forma # P / q # in termini minimi, dove #p, q in ZZ #, #q! = 0 #, # P # un divisore del termine costante #-6# e # # Q un divisore del coefficiente #2# del termine principale.
Ciò significa che le possibili radici razionali sono:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Proviamo il primo:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
così #k = 1/2 # è una radice e # (2k-1) # è un fattore
Dividi per # (2k-1) # trovare:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
Quindi le possibili soluzioni sono:
#k = 1/2 #, #k = -2 # e #k = -3 #
