Sia 5a + 12b e 12a + 5b siano le lunghezze laterali di un triangolo rettangolo e 13a + kb sia l'ipotenusa, dove a, bek sono interi positivi. Come trovi il valore più piccolo di k e i valori più piccoli di aeb per quel k?

Risposta:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Spiegazione:

Con il teorema di Pitagora, abbiamo:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Questo è:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#colore (bianco) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Sottrarre il lato sinistro da entrambe le estremità per trovare:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (bianco) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Da #b> 0 # noi richiediamo:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Allora da allora #a, b> 0 # noi richiediamo # (240-26k) # e # (169-k ^ 2) # avere segni opposti

quando #k in 1, 9 # tutti e due # # 240-26k e # 169-k ^ 2 # sono positivi

quando #k in 10, 12 # noi troviamo # 240-26k <0 # e # 169-k ^ 2> 0 # come richiesto.

Quindi il valore minimo possibile di #K# è #10#.

Poi:

# -20a + 69b = 0 #

Allora da allora #20# e #69# non hanno un fattore comune più grande di #1#, i valori minimi di #un# e # B # siamo #69# e #20# rispettivamente.