Due numeri hanno una differenza di 20. Come trovi i numeri se la somma dei loro quadrati è un minimo?

Risposta:

#-10,10#

Spiegazione:

Due numeri # N, m # così # N-m = 20 #

La somma dei loro quadrati è data da

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # ma #m = n-20 # così

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Come possiamo vedere, #S (n) # è una parabola con un minimo di

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # o a # n_0 = 10 #

I numeri sono

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Risposta:

10 e -10

Risolto senza calcolo.

Spiegazione:

Nella risposta di Cesareo # D / (dn) S (n_0) # è il calcolo. Vediamo se possiamo risolvere questo senza calcolo.

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#color (magenta) ("Lascia che sia il primo numero" x) #

Lascia che sia il secondo numero # x + 20 #

Impostato # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# Y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "è la somma dei loro quadrati" #

#color (rosso) ("Quindi dobbiamo trovare il valore di x che fornisce il valore minimo") # #color (rosso) ("di" y) #

Questa equazione è un quadratico e come il # X ^ 2 # il termine è positivo, quindi la sua forma generale è di forma # # Uu. Quindi il vertice è il valore minimo per # Y #

Scrivi come # Y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

Quello che segue è parte del processo per completare il quadrato.

Considera il 20 da # 20x #

#color (magenta) ("Quindi il primo numero è:" x _ ("vertice") = (- 1/2) xx20 = -10) #

Quindi il primo numero è # x = -10 #

Il secondo numero è # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" colore (verde) (barra (ul (| colore (bianco) (2/2) "I due numeri sono: -10 e 10" |))) #