Qual è la forma del vertice di 7y = - 13x ^ 2 -15x + 2?

Risposta:

# Y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Spiegazione:

In primo luogo, ottenere l'equazione nella sua forma tipica dividendo entrambi i lati per #7#.

# Y = -13 / 7x ^ 2-15 / 7x + 2/7 #

Ora, vogliamo ottenere questo in forma di vertice:

# Y = a (x-h) ^ 2 + k #

In primo luogo, fattore il #-13/7# dai primi due termini. Si noti che il factoring a #-13/7# da un termine equivale a moltiplicare il termine per #-7/13#.

# Y = -13 / 7 (x ^ 2 + 15 / 13x) + 2/7 #

Ora, vogliamo che il termine tra parentesi sia un quadrato perfetto. I quadrati perfetti vengono nel modello # (X + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2AX + a ^ 2 #.

Qui, a medio termine # 15 / 13x # è il termine medio del perfetto trinomio quadrato, # # 2AX. Se vogliamo determinare cosa #un# è, dividi # 15 / 13x # di # # 2x per vederlo # A = 15/26 #.

Ciò significa che vogliamo aggiungere il termine mancante tra parentesi per rendere uguale il gruppo # (X + 15/26) ^ 2 #.

# Y = -13 / 7overbrace ((x ^ 2 + 15 / + 13x?)) ^ ((X + 15/26) ^ 2) + 2/7 #

Il termine mancante alla fine del perfetto trinomio quadrato è # A ^ 2 #e lo sappiamo # A = 15/26 #, così # A ^ 2 = 225/676 #.

Ora aggiungiamo #225/676# ai termini tra parentesi. Tuttavia, non possiamo aggiungere numeri alle equazioni, volenti o nolenti. Dobbiamo bilanciare ciò che abbiamo appena aggiunto sullo stesso lato dell'equazione. (Ad esempio, se avessimo aggiunto #2#, dovremmo aggiungere #-2# allo stesso lato dell'equazione per un cambio netto di #0#).

# Y = colore (blu) (- 13/7)? (X ^ 2 + 15 / 13x + colore (blu) (225/676)) + 2/7 + colore (blu) #

Si noti che non abbiamo effettivamente aggiunto #225/676#. Poiché è all'interno delle parentesi, il termine all'esterno viene moltiplicato. Quindi, il #225/676# in realtà ha un valore di

# 225 / 676xx-13/7 = 225 / 52xx-1/7 = -225 / 364 #

Dal momento che abbiamo effettivamente aggiunto #-225/364#, dobbiamo aggiungere un positivo #225/364# dalla stessa parte.

# Y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 2/7 + 225/364 #

Nota che #2/7=104/364#, così

#color (rosso) (y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Questo è in forma di vertice, dove si trova il vertice della parabola # (H, k) -> (- 15 / 26.329 / 364) #.

Possiamo controllare il nostro lavoro graficando sulla parabola:

grafico {7y = - 13x ^ 2 -15x + 2 -4,93, 4,934, -2,466, 2,466}

Nota che #-15/26=-0.577# e #329/364=0.904#, quali sono i valori ottenuti facendo clic sul vertice.