(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Facciamolo ???

Risposta:

#a = 1, b = 1 #

Spiegazione:

Risolvere il modo tradizionale

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Ora risolvendo per #un#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # ma #un# deve essere reale, quindi la condizione è

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # o # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

ora sostituendo e risolvendo per #un#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # e la soluzione è

#a = 1, b = 1 #

Un altro modo per fare lo stesso

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

e alla fine

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Risposta:

D. Esiste esattamente una coppia di soluzioni # (a, b) = (1, 1) #

Spiegazione:

Dato:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Nota che possiamo renderlo un bel problema omogeneo simmetrico generalizzando a:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

quindi impostare # C = 1 # alla fine.

Espandendo entrambi i lati di questo problema generalizzato, abbiamo:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Sottraendo il lato sinistro da entrambi i lati, otteniamo:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (bianco) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (bianco) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Per i valori reali di #un#, # B # e # C #, questo può valere solo se tutti # (A-b) #, #(avanti Cristo)# e #(circa)# sono zero e quindi:

#a = b = c #

Quindi mettendo # C = 1 # troviamo l'unica soluzione al problema originale, vale a dire # (a, b) = (1, 1) #