Risposta:
# #
# mbox {i)} (1,3,2) mbox {e} (2,2,2): #
# qquad qquad qquad mbox {appartiene allo stesso coset di} W. #
# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {e} (3,3,3): #
# qquad qquad qquad mbox {non appartengono allo stesso coset di} W. #
Spiegazione:
# #
# mbox {1) Si noti che, con il dato su} W, mbox {possiamo descrivere} mbox {gli elementi di} W mbox {come quei vettori di} V mbox {dove la} mbox {somma delle coordinate è} 0. #
# #
# mbox {2) Ora ricorda che:}} #
# mbox {due vettori appartengono allo stesso coset di qualsiasi sottospazio} #
# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #
# qquad mbox {la loro differenza appartiene al sottospazio stesso}. #
# #
# mbox {3) Quindi per determinare l'appartenenza allo stesso coset di} W, mbox {è necessario e sufficiente per determinare se la} mbox {differenza di quei vettori appartiene a} W: #
# qquad vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {stesso cosete di} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} in W. #
# #
# mbox {Quindi, dalla descrizione di} W mbox {in (1) sopra, abbiamo:} #
# vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {stesso cosete di} W quad iff quad mbox {la somma delle coordinate di} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #
# #
# mbox {È una questione di questo semplice calcolo.} #
# #
# 4) mbox {Procedendo con le due coppie di vettori date e} mbox {eseguendo questo calcolo su ogni coppia, troviamo: #
# quad mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {e così} #
# qquad qquad mbox {la somma delle coordinate di} quad (-1,1,0) = 0 #
# mbox {Quindi:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {e} (2,2,2) #
# qquad qquad qquad qquad mbox {appartengono allo stesso coset di} W. #
# #
# quad mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {e così} #
# qquad qquad mbox {la somma delle coordinate di} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #
# mbox {Quindi:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {e} (3,3,3) #
# qquad quad quad mbox {non appartengono allo stesso coset di} W. #
