Sotto quali circostanze non banali (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2?

Risposta:

Sotto la circostanza che # AB = 0 #

Vogliamo trovare quando # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #.

Iniziamo espandendo il lato sinistro usando la formula quadrata perfetta

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 #

Quindi lo vediamo # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 # se e solo se # 2AB = 0 #

Vedi sotto.

Se #A, B # sono i vettori allora

# (A + B) cdot (A + B) = norma (A) ^ 2 + 2 A cdot B + norma (B) ^ 2 = norma (A) ^ 2 + norma (B) ^ 2 #

quindi necessariamente #A cdot B = 0 rArr A bot B # così # A, B # sono ortogonali.

Alcune possibilità …

Dato:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #

Un paio di possibilità …

Campo di caratteristica #2#

In un campo di caratteristiche #2#, qualsiasi multiplo di #2# è #0#

Così:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + colore (rosso) (cancella (colore (nero) (2AB))) + B ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #