Risposta:
Fai molta algebra dopo aver applicato la definizione del limite per scoprire che la pendenza a # X = 3 # è #13#.
Spiegazione:
La definizione limite della derivata è:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Se valutiamo questo limite per # 3x ^ 2-5x + 2 #, otterremo un'espressione per il derivato di questa funzione. La derivata è semplicemente la pendenza della linea tangente in un punto; quindi valutando la derivata a # X = 3 # ci darà la pendenza della linea tangente a # X = 3 #.
Detto ciò, iniziamo:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (cancellare (3x ^ 2) + 6HX + 3h ^ 2-cancel (5x) -5h + annullare (2) -Cancella (3x ^ 2) + annullare (5x) -Cancella (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6HX + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (annulla (h) (6x + 3h-5)) / annullare (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Valutare questo limite a # H = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Ora che abbiamo la derivata, abbiamo solo bisogno di collegarci # X = 3 # per trovare la pendenza della linea tangente lì:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Risposta:
Vedi la sezione di spiegazione qui sotto se il tuo insegnante / libro di testo utilizza #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Spiegazione:
Alcune presentazioni di calcolo usano, per la definizione della pendenza della linea tangente al grafico di #f (x) # nel punto in cui # x = a # è #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # a condizione che il limite esista.
(Ad esempio, l'ottava edizione di James Stewart Calcolo p 106. A pagina 107, fornisce l'equivalente #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Con questa definizione, la pendenza della linea tangente al grafico di #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # nel punto in cui # X = 3 # è
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) 2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Si noti che questo limite ha forma indeterminata #0/0# perché #3# è uno zero del polinomio nel numeratore.
Da #3# è uno zero, lo sappiamo # x-3 # è un fattore Quindi possiamo calcolare, ridurre e provare a valutare di nuovo.
# = lim_ (xrarr3) (cancel ((x-3)) (3x + 4)) / cancel ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Il limite è #13#, quindi la pendenza della linea tangente a # X = 3 # è #13#.
